文章目录
abstract映射映射的定义像@原像定义域@值域
小结例
特殊映射满射单射👺双射
映射的其他称呼逆映射👺复合映射👺复合记号复合映射中的先后映射映射间可复合条件@复合顺序
从映射到函数
abstract
映射的概念
逆映射复合映射 相关的符号表示含义解释
映射
基于映射的概念,可以更加简洁地定义函数等相关概念映射是一种比函数更加基础和抽象的概念,函数是映射中的一种实现
映射的定义
设
X
,
Y
X,Y
X,Y是两个非空集合,如果存在一个对应法则(简称法则)
f
f
f,使得对
X
X
X中每个元素
x
x
x,按照法则
f
f
f,在
Y
Y
Y中有唯一确定的元素
y
y
y与之对应,那么
f
f
f是从
X
到
Y
X到{Y}
X到Y的映射,记为
f
:
X
→
Y
f:X\to{Y}
f:X→Y
f
f
f是法则的记号
X
,
Y
X,Y
X,Y分别是被映射非空集合与映射结果非空集合
像@原像
在映射的定义中,
y
y
y称为元素
x
x
x(在映射
f
f
f下)的像,记为
f
(
x
)
f(x)
f(x),即
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)而元素
x
x
x称为
y
y
y(在映射
f
f
f下)的一个原像
定义域@值域
集合
X
X
X称为映射
f
f
f的定义域,记为
D
f
D_{f}
Df,即
D
f
=
X
D_{f}=X
Df=X
X
X
X中所有元素的像组成的集合称为映射
f
f
f的值域,记为
R
f
R_{f}
Rf或
f
(
X
)
f(X)
f(X),即
R
f
=
f
(
X
)
=
{
f
(
x
)
∣
x
∈
X
}
R_{f}=f(X)=\set{f(x)|x\in{X}}
Rf=f(X)={f(x)∣x∈X}
小结
一个映射需要具备3个要素:
集合
X
X
X(定义域
D
f
=
X
D_f=X
Df=X)集合
Y
Y
Y(值域范围,
R
f
⊂
Y
R_{f}\sub{Y}
Rf⊂Y)对应法则
f
f
f,使每个
x
∈
X
x\in{X}
x∈X,有唯一确定的
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)与之对应 每个
x
∈
X
x\in{X}
x∈X的像
y
y
y是唯一的每个
x
∈
R
f
x\in{R_f}
x∈Rf的原像不一定是唯一的映射
f
f
f的值域
R
f
R_f
Rf是
Y
Y
Y的一个子集
(
R
f
⊂
Y
)
(R_f\sub{Y})
(Rf⊂Y),而不一定有
R
f
=
Y
R_{f}=Y
Rf=Y
例
设
f
:
[
−
π
2
,
π
2
]
f:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]
f:[−2π,2π]
→
\to
→
[
−
1
,
1
]
[-1,1]
[−1,1],对于每个
x
∈
[
−
π
2
,
π
2
]
x\in{[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]}
x∈[−2π,2π],对应法则:
f
(
x
)
=
sin
x
f(x)=\sin{x}
f(x)=sinx,
f
f
f是一个映射,其定义域
D
f
=
[
−
π
2
,
π
2
]
D_f=[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]
Df=[−2π,2π],值域
R
f
=
[
−
1
,
1
]
R_f=[-1,1]
Rf=[−1,1]
特殊映射
满射
设
f
f
f是从集合
X
→
Y
X\to{Y}
X→Y的映射,若
R
f
=
Y
R_{f}=Y
Rf=Y,即
Y
Y
Y中任一元素
y
y
y都是
X
X
X中某元素的像,则
f
f
f为
X
→
Y
X\to{Y}
X→Y的满射满射是特殊的映射,意味着
Y
Y
Y中没有多余的元素,
R
f
=
Y
R_f=Y
Rf=Y
单射👺
若对
X
X
X中任意两个不同元素
x
1
≠
x
2
x_1\neq{x_2}
x1=x2,它们的像
f
(
x
1
)
≠
f
(
x
2
)
f(x_1)\neq{f(x_2)}
f(x1)=f(x2),则称
f
f
f为
X
→
Y
X\to{Y}
X→Y的单射单设也是一种特殊的映射Note:
单调函数一定是单射,但是单射函数不一定是单调函数,可能是离散的非单调函数或者某些不连续的分段函数对于单调不减函数,
x
1
<
x
2
x_1 x1 f ( x 1 ) ⩽ f ( x 2 ) f(x_1)\leqslant{f(x_2)} f(x1)⩽f(x2)不一定满足单射,单不增类似对于存在 x 1 ≠ x 2 x_1\neq{x_2} x1=x2, f ( x 1 ) = f ( x 1 ) f(x_1)=f(x_1) f(x1)=f(x1)的非严格单调函数不是单射单调函数中要求是严格单调函数才是且一定是单射 双射 若 f f f既是单设也是满射,则称 f f f为双射(一 一映射)例: f : x → sin x f:x\to{\sin{x}} f:x→sinx, f ( x ) = sin x , x ∈ [ − π 2 , π 2 ] f(x)=\sin{x},x\in{[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]} f(x)=sinx,x∈[−2π,2π]是双射 映射的其他称呼 映射又称为算子根据集合 X , Y X,Y X,Y的不同情形,不同的数学分支中,映射有不同的管用名称 从非空集合 X X X到数集 Y Y Y的映射又称为 X X X上的泛函从非空集 X X X到它自身的映射又称为 X X X的变换从实数集合(或其子集) X X X到实数集 Y Y Y的映射通常称为定义在 X X X上的函数 逆映射👺 设 f f f是 X → Y X\to{Y} X→Y的单射,则对每个 y ∈ R f y\in{R_f} y∈Rf,有唯一的 x ∈ X x\in{X} x∈X,满足 f ( x ) = y f(x)=y f(x)=y我们可以定义一个从 R f R_f Rf到 X X X的新映射 g g g,即 g : R f → X g:R_{f}\to{X} g:Rf→X;对每个 y ∈ R f y\in{R_f} y∈Rf,规定 g ( y ) = x g(y)=x g(y)=x,且 x x x满足 f ( x ) = y f(x)=y f(x)=y那么这个新映射 g g g称为 f f f的逆映射,记为 f − 1 f^{-1} f−1,其定义域为 D f − 1 = R j D_{f^{-1}}=R_j Df−1=Rj,值域为 R j − 1 = X R_{j^{-1}}=X Rj−1=X显然 f , g f,g f,g的定义域和值域是相对调关系按定义,只有单射才存在逆映射 例如 f ( x ) = sin x , x ∈ [ − π 2 , π 2 ] f(x)=\sin{x},x\in{[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]} f(x)=sinx,x∈[−2π,2π]是单射,且 f f f的逆映射 f − 1 f^{-1} f−1是反正弦函数 f − 1 ( x ) = arcsin x , x ∈ [ − 1 , 1 ] f^{-1}(x)=\arcsin{x},x\in[-1,1] f−1(x)=arcsinx,x∈[−1,1] 其定义域 D f − 1 = [ − 1 , 1 ] D_{f^{-1}}=[-1,1] Df−1=[−1,1];值域 R f − 1 = [ − π 2 , π 2 ] R_{f^{-1}}=[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] Rf−1=[−2π,2π] 复合映射👺 设有2个映射 g : X → Y 1 g:X\to{Y_1} g:X→Y1, f : Y 2 → Z f:Y_2\to{Z} f:Y2→Z;其中 Y 1 ⊂ Y 2 Y_1\sub{Y_2} Y1⊂Y2,则有 g , f g,f g,f可以定处一个从 X → Z X\to{Z} X→Z的对应法则 h h h,即,它将 x ∈ X x\in{X} x∈X映射成 h ( x ) = f [ g ( x ) ] ∈ Z h(x)=f[g(x)]\in{Z} h(x)=f[g(x)]∈Z 复合记号 上述映射 h h h称为 f , g f,g f,g的复合映射,记为 f ∘ g f\circ{g} f∘g,即 f ∘ g : X → Z f\circ{g}:X\to{Z} f∘g:X→Z, ( f ∘ g ) ( x ) = f [ g ( x ) ] , x ∈ X (f\circ{g})(x)=f[g(x)],x\in{X} (f∘g)(x)=f[g(x)],x∈X ( f ∘ g ) ( x ) (f\circ{g})(x) (f∘g)(x)中, ( f ∘ g ) (f\circ{g}) (f∘g)是一个函数符号整体,相当于 h h h,不引起歧义时不加括号: f ∘ g f\circ{g} f∘g 复合映射中的先后映射 对于两个 ( n = 2 ) (n=2) (n=2)映射的复合: f ∘ g f\circ{g} f∘g表示 f f f是后序映射, g g g是先序映射如果时多个 ( n > 2 ) (n>2) (n>2)函数 ( f 1 , ⋯ , f n ) (f_1,\cdots,f_n) (f1,⋯,fn)复合: f 1 ∘ f 2 ∘ ⋯ ∘ f n f_1\circ{f_2}\circ\cdots\circ{f_n} f1∘f2∘⋯∘fn中, f k f_k fk是第 n − k n-k n−k序映射,即 f n f_n fn是最先映射, f 1 f_1 f1是最后映射 f k + 1 f_{k+1} fk+1相对于 f k f_{k} fk是相对先映射(序号越大,映射次序越靠前) 映射间可复合条件@复合顺序 映射 g , f g,f g,f构成复合映射 f ∘ g f\circ{g} f∘g的条件是: R g ⊂ D f R_g\sub{D_f} Rg⊂Df,否则复合无意义(不可符合)因此,映射 g , f g,f g,f有复合顺序, f ∘ g f\circ{g} f∘g有意义,也不表示 g ∘ f g\circ{f} g∘f有意义;即使 g ∘ f , f ∘ g g\circ{f},f\circ{g} g∘f,f∘g都有意义,两者也未必相同例如: g ( x ) = sin x g(x)=\sin{x} g(x)=sinx, f ( x ) = x 2 f(x)=x^2 f(x)=x2, x ∈ R x\in{R} x∈R; ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) = g 2 ( x ) (f\circ{g})(x)=f(g(x))=g^2(x) (f∘g)(x)=f(g(x))=g2(x); ( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) = sin x 2 (g\circ{f})(x)=g(f(x))=\sin{x^2} (g∘f)(x)=g(f(x))=sinx2, x ∈ R x\in{R} x∈R 例如: 映射 g : R → [ − 1 , 1 ] g:R\to{[-1,1]} g:R→[−1,1],对于每个 x ∈ R x\in{R} x∈R, g ( x ) = sin x g(x)=\sin{x} g(x)=sinx;映射 f : [ − 1 , 1 ] → [ 0 , 1 ] f:[-1,1]\to[0,1] f:[−1,1]→[0,1]对每个 u ∈ [ − 1 , 1 ] , f ( u ) = 1 − u 2 u\in[-1,1],f(u)=\sqrt{1-u^2} u∈[−1,1],f(u)=1−u2 ,则映射 g g g和 f f f构成复合映射 f ∘ g : R → [ 0 , 1 ] f\circ{g}:R\to{[0,1]} f∘g:R→[0,1],对于每个 x ∈ R x\in{R} x∈R, ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) (f\circ{g})(x)=f(g(x)) (f∘g)(x)=f(g(x))= 1 − sin 2 x \sqrt{1-\sin^2{x}} 1−sin2x = ∣ cos x ∣ |\cos{x}| ∣cosx∣ 从映射到函数 另见:从映射到函数